Question

17．已知球O与棱长均为4$\sqrt{2}$的四面体ABCD的各条棱都相切，则平面ABC截球的截面面积为$\frac{8}{3}$π．

Answer 1

分析 将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O与正四面体的各棱都相切，可得球O的直径为正方体的棱长，从而可求平面ABC截球的截面面积．

解答 解：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线．
∵正四面体ABCD的棱长为4$\sqrt{2}$
∴正方体的棱长为4
∵球O与正四面体的各棱都相切，
∴球O的直径为正方体的棱长4，
设平面ABC截球O的截面圆的圆心为M，圆M与AB相切于点N，则OM⊥平面ABC，如图2所示，

由正方体性质知M为体对角线PD与平面ABC的交点，且OM=$\frac{1}{6}$PD=$\frac{1}{6}$×$4\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△OMN中，MN=$\sqrt{O{N}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，
∴平面ABC截球的截面面积为$\frac{8}{3}$π．
故答案为：$\frac{8}{3}$π．

点评 本题考查球的表面积公式解题的关键是将正四面体ABCD，补成正方体，属于中档题．．