题目内容

已知点,的坐标分别是.直线,相交于点,且它们的斜率之积为.

(1)求点的轨迹的方程;

(2)若过点的两直线与轨迹都只有一个交点,且,求的值;

(3)在轴上是否存在两个定点,,使得点到点的距离与到点的距离的比恒为,若存在,求出定点,;若不存在,请说明理由.

 

【答案】

(1)轨迹的方程为 

(2)

(3)存在定点

【解析】

试题分析:解: (1)设点的坐标为

由题可知,即

化简得 

所以点的轨迹的方程为                                 4分

(2)分四种情况讨论

情况一:当直线都与相切时,直线与轨迹都只有一个交点。

设直线的方程为,即

可知直线的方程为,即

因为直线都与相切,所以 解得。             6分

情况二:当直线过点,直线过点时,直线与轨迹都只有一个交点。

此时直线的斜率,直线的斜率

,解得。                                       7分

情况三:当直线过点,直线相切时,直线与轨迹都只有一个交点。

直线的斜率,由知直线的斜率

故直线的方程为,即

因为直线相切,所以 解得

情况四:当直线过点,直线相切时,直线与轨迹都只有一个交点。

直线的斜率,由知直线的斜率

故直线的方程为,即

因为直线相切,所以 解得。               10分

综上所述:的值为,1,

(3)假设存在定点,,设

化简整理得(*)         11分

由于满足,故(*)式可化为        12分

解得                                

故存在定点,使得点到点的距离与到点的距离的比为。                                                              14分

考点:轨迹方程,直线与圆的位置关系

点评:主要是考查了直线与原点位置关系的运用,以及轨迹方程的求解,属于中档题。

 

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