题目内容
已知点,的坐标分别是,.直线,相交于点,且它们的斜率之积为.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若过点的两直线和与轨迹都只有一个交点,且,求的值;
(3)在轴上是否存在两个定点,,使得点到点的距离与到点的距离的比恒为,若存在,求出定点,;若不存在,请说明理由.
(1)轨迹的方程为
(2)
(3)存在定点,或,
【解析】
试题分析:解: (1)设点的坐标为
由题可知,即,
化简得 ,
所以点的轨迹的方程为 4分
(2)分四种情况讨论
情况一:当直线和都与相切时,直线和与轨迹都只有一个交点。
设直线的方程为,即
由可知直线的方程为,即
因为直线和都与相切,所以 解得。 6分
情况二:当直线过点,直线过点时,直线和与轨迹都只有一个交点。
此时直线的斜率,直线的斜率
由知,解得。 7分
情况三:当直线过点,直线与相切时,直线和与轨迹都只有一个交点。
直线的斜率,由知直线的斜率
故直线的方程为,即
因为直线与相切,所以 解得。
情况四:当直线过点,直线与相切时,直线和与轨迹都只有一个交点。
直线的斜率,由知直线的斜率
故直线的方程为,即
因为直线与相切,所以 解得。 10分
综上所述:的值为,1,。
(3)假设存在定点,,设,,
则化简整理得(*) 11分
由于满足,故(*)式可化为 12分
故解得或
故存在定点,或,,使得点到点的距离与到点的距离的比为。 14分
考点:轨迹方程,直线与圆的位置关系
点评:主要是考查了直线与原点位置关系的运用,以及轨迹方程的求解,属于中档题。