题目内容
(09年湖北八校联考理)(13分)
如图,已知曲线与抛物线的交点分别为、,曲线和抛物线在点处的切线分别为、,且、的斜率分别为、.
(Ⅰ)当为定值时,求证为定值(与无关),并求出这个定值;
(Ⅱ)若直线与轴的交点为,当取得最小值时,求曲线和的方程。
解析:(Ⅰ)设点的坐标为,
曲线的方程可写成:,∴
∴…2′
又…………4′
∴为定值。……6′
(Ⅱ)如图设点的坐标为,则.
由(Ⅰ)知:,则直线.
∵过点,则,即,∴点.…8′
将代入曲线的方程得.
∴.
由重要不等式得.……10′
当且仅当“”成立时,有,解得
∴,.……13′
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