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(09年湖北八校联考理)(13分)

如图,已知曲线与抛物线的交点分别为,曲线和抛物线在点处的切线分别为,且的斜率分别为.

(Ⅰ)当为定值时,求证为定值(与无关),并求出这个定值;

(Ⅱ)若直线轴的交点为,当取得最小值时,求曲线的方程。

 

解析:(Ⅰ)设点的坐标为

曲线的方程可写成:,∴

…2′

…………4′

为定值。……6′

(Ⅱ)如图设点的坐标为,则.

由(Ⅰ)知:,则直线.

过点,则,即,∴点.…8′

代入曲线的方程得.

.

由重要不等式得.……10′

当且仅当“”成立时,有,解得

.……13′

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