Question

设双曲线，点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点，点F₁、F₂分别为双曲线C的左、右焦点，点M、N是双曲线C的右支上不同两点，点Q为线段MN的中点．已知在双曲线C上存在一点P，使得．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率；
（Ⅱ）设a为正常数，若点Q在直线y=2x上，求直线MN在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设，点A（-a，0），B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中．（1分）
因为，则．
设点P（x₀，y₀）
，则，所以，．（3分）
因为点P在双曲线上，所以，即（c-a）²=4a²．（4分）
因为c＞a，所以c-a=2a，即c=3a，故离心率．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=3a，则b²=c²-a²=8a²．（7分）
若MN⊥x轴，则Q在x轴上，不合题意．
设直线MN的方程为y=kx+m，代入，得8x²-（kx+m）²=8a²，即（8-k²）x²-2kmx-m²-8a²=0．（*）（9分）
若k²=8，则MN与双曲线C的渐近线平行，不合题意．
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），则，，．（10分）
若点Q在直线y=2x上，则．
因为点M、N在双曲线的右支上，所以m≠0，从而k=4．（11分）
此时，方程（*）可化为8x²+8mx+m²+8a²=0．
由△=8²m²-4×8（m²+8a²）＞0，得m²＞8a²．（12分）
又M、N在双曲线C的右支上，则x₁+x₂=-m＞0，所以．
故直线MN在y轴上的截距的取值范围是．（13分）
分析：（Ⅰ）由题设知．．设点P（x₀，y₀），则有，．由此推导出c=3a，可得离心率；
（Ⅱ）由题意知c=3a，则b²=c²-a²=8a²．若MN⊥x轴，则Q在x轴上，不合题意．设直线MN的方程为y=kx+m，代入，得8x²-（kx+m）²=8a²，即（8-k²）x²-2kmx-m²-8a²=0．若k²=8，则MN与双曲线C的渐近线平行，不合题意．设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），由根与系数的关系能够推导出直线MN在y轴上的截距的取值范围．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．