Question

已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x．y恒有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-

2

3

（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）在R上为减函数；
（3）求：f（x）在[-3，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）分别取x=y=0，和y=-x可得f（0）=0，进而可得f（-x）=-f（x），可判f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），结合已知可判f（x₂）-f（x₁）＜0，可得单调性；
（3）由已知式子可得f（4）=4f（1），进而可得f（-3）=-f（4）+f（1），结合（2）单调性可得．

解答：解：（1）由题意结合x，y的任意性，
取x=y=0，可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）
故f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
故函数f（x）在R上为减函数；
（3）∴f（x）+f（y）=f（x+y），
∴f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）
=2f（1+1）=2[f（1）+f（1）]=4f（1）=-

8

3

，
进而可得f（-3）=f（-4+1）=f（-4）+f（1）
=-f（4）+f（1）=

8

3

-

2

3

=2
由（2）知函数在[-3，4]上单调递减，
故函数的最大值为f（-3）=2
函数的最小值为f（4）=-

8

3

点评：本题考查抽象函数的单调性和奇偶性的判断，赋值是解决问题的关键，属基础题．