Question

1．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）判断函数f（x）在（0，2）和（2，+∞）上的单调性并用定义法证明；
（2）设g（x）=2log₂（x+2）-log₂x，求g（x）在[1，4]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）先求出函数g（x）的单调性，求出g（x）的最值，从而求出g（x）的值域即可．

解答 解：（1）f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
证明如下：
设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{4}{{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）+$\frac{4{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（1-$\frac{4}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
当1-$\frac{4}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，即2＜x₁＜x₂时：
f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
f（x）在（2，+∞）递增；
当1-$\frac{4}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，即0＜x₁＜x₂＜2时：
f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）；
f（x）在（0，2）递减；
（2）g（x）=2log₂（x+2）-log₂x=${log}_{2}^{\frac{{（x+2）}^{2}}{x}}$=log₂（x+$\frac{4}{x}$+4），
∵f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴g（x）在[1，2）递减，在（2，4]递增，
而g（1）=log₂9，g（2）=log₂8=3，g（4）=log₂9=2${log}_{2}^{3}$，
∴g（x）在[1，4]上的值域是：[3，2log₂3]．

点评 本题考查了通过定义证明函数的单调性问题，考查函数单调性的应用，函数的值域问题，是一道中档题．