题目内容

18.“坐标法”是以坐标系为桥梁,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究图形的几何性质的方法,它是解析几何中是基本的研究方法.请用坐标法证明下面问题:
已知圆O的方程是x2+y2=1,点A(1,0),P、Q是圆O上异于A的两点.证明:弦PQ是圆O直径的充分必要条件是$\overrightarrow{AP}?\overrightarrow{AQ}=0$.

分析 ①充分性:由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0,得出∠PAQ=90°,设出直线AP、AQ的方程,与圆O的方程联立,
求出$\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OQ}$的坐标表示,得出P、Q的关系,即正PQ是圆的直径;
②必要性:由弦PQ是圆的直径,设出P、Q的坐标,计算$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的值即可.

解答 证明:①充分性:若$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0,即∠PAQ=90°,
设直线AP的方程是x=my+1,代入x2+y2=1得
(m2+1)y2+2my=0;------(2分)
因为y≠0,所以y=-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$,从而得
$\overrightarrow{OP}$=($\frac{1{-m}^{2}}{{m}^{2}+1}$,-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$);------(4分)
因为∠PAQ=90°,所以直线AQ的方程为x=-$\frac{1}{m}$y+1;
以-$\frac{1}{m}$代换点Q坐标中的m,得
$\overrightarrow{OQ}$=($\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}+1}$,$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$);-----(5分)
显然$\overrightarrow{OP}$=-$\overrightarrow{OQ}$,即弦PQ是圆的直径;------(6分)
②必要性:若弦PQ是圆的直径,可设P(x1,y1),Q(-x1,-y1),
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=(x1-1,y1)•(-x1-1,-y1)=1-${{x}_{1}}^{2}$-${{y}_{1}}^{2}$;-----(10分)
因为${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=1,所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0.-----(12分)

点评 本题考查了直线与圆的应用问题,也考查了平面向量的应用问题,考查了证明与推理能力,是综合性问题.

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