Question

如图，等边△SAB与直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求||的值； 
（2）求面SCD与面SAB所成的二面角大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接SF，证明SE⊥面ABCD，可得SE⊥EF，利用||=2，即可求得结论；
（2）建立直角坐标系，分别求出面SCD与面SAB的法向量，利用向量的夹角公式，即可求面SCD与面SAB所成的二面角大小．
解答：解：（1）连接SF，则
在正△SAB中，AB=2，SE=，E为AB的中点，∴SE=，SE⊥AB
∵BC=2，AD=1，E，F分别为AB，CD的中点，∴EF=
∵等边△SAB与直角梯形ABCD垂直，SE⊥AB
∴SE⊥面ABCD，∴SE⊥EF
直角△SEF中，|SF|==，
∴||=2=；
（2）建立如图所示的直角坐标系，

则S（0，0，），D（1，1，0），C（-1，2，0）
设面SCD的法向量为=（x，y，z），则由，可得
取x=1，可得=（1，2，）
∵面SAB的法向量为
∴cos＜＞===．
点评：本题考查面面垂直，考查线面垂直，考查向量知识的运用，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．