Question

如图，等边△SAB与直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求|

SC

+

SD

|的值； 
（2）求面SCD与面SAB所成的二面角大小．

Answer 1

分析：（1）连接SF，证明SE⊥面ABCD，可得SE⊥EF，利用|

SC

+

SD

|=2|

SF|

，即可求得结论；
（2）建立直角坐标系，分别求出面SCD与面SAB的法向量，利用向量的夹角公式，即可求面SCD与面SAB所成的二面角大小．

解答：解：（1）连接SF，则
在正△SAB中，AB=2，SE=

3

，E为AB的中点，∴SE=

3

，SE⊥AB
∵BC=2，AD=1，E，F分别为AB，CD的中点，∴EF=

3

2

∵等边△SAB与直角梯形ABCD垂直，SE⊥AB
∴SE⊥面ABCD，∴SE⊥EF
直角△SEF中，|SF|=

|SE|2+|EF|2

=

21

2

，
∴|

SC

+

SD

|=2|

SF|

=

21

；
（2）建立如图所示的直角坐标系，

则S（0，0，

3

），D（1，1，0），C（-1，2，0）
设面SCD的法向量为

n2

=（x，y，z），则由

n2 • CD =0 n2 • SD =0

，可得

2x-y=0 x+y- 3 z=0

取x=1，可得

n2

=（1，2，

3

）
∵面SAB的法向量为

n1

=(0，1，0)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

2 2

=

2

2

．

点评：本题考查面面垂直，考查线面垂直，考查向量知识的运用，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．