Question

18．f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos²x
（1）f（x）最小正周期
（2）将f（x）向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得g（x），求g（x）在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用三角函数的周期性及其求法即可得解．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2x，由x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]，可求2x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，利用余弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴将f（x）向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得g（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2x，
∵x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴cos2x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴g（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2x∈[-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．