题目内容

设函数表示f(x)导函数。

    (I)求函数一份(x))的单调递增区间;

    (Ⅱ)当k为偶数时,数列{}满足.证明:数列{}中

不存在成等差数列的三项;

(Ⅲ)当后为奇数时,证明:对任意正整数,n都有成立.

(1)当k为奇数时,f(x)的单调递增区间为,当k为偶数时f(x)的单调递增区间为(2)见解析(3)见解析


解析:

(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)

     又                  

当k为奇数时,

的单调递增区间为                    

当k为偶函数时,

>0,得x-1>0,∴x>1,即f(x)的单调递增区间为

综上所述:当k为奇数时,f(x)的单调递增区间为,当k为偶数时f(x)的单调递增区间为                                        

(Ⅱ)当k为偶数时,由(Ⅰ)知

     所以

根据题设条件有

∴{ }是以2为公式的比例数列                

假设数列{}中存在三项,成等差数列

不妨设r<s<t,则2=+

 

(Ⅲ)当k为奇数时       

方法二:(数学归纳发)

当n=1是,左边=0,右边=0,显然不等式成立

设n=k+1时:

n=k+1时结论成立。

综上,对一切正整数n结论成立。

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