题目内容
设函数表示f(x)导函数。
(I)求函数一份(x))的单调递增区间;
(Ⅱ)当k为偶数时,数列{}满足.证明:数列{}中
不存在成等差数列的三项;
(Ⅲ)当后为奇数时,证明:对任意正整数,n都有成立.
(1)当k为奇数时,f(x)的单调递增区间为,当k为偶数时f(x)的单调递增区间为(2)见解析(3)见解析
解析:
(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)
又
当k为奇数时,
即的单调递增区间为
当k为偶函数时,
由>0,得x-1>0,∴x>1,即f(x)的单调递增区间为,
综上所述:当k为奇数时,f(x)的单调递增区间为,当k为偶数时f(x)的单调递增区间为
(Ⅱ)当k为偶数时,由(Ⅰ)知
所以
根据题设条件有
∴{ }是以2为公式的比例数列
假设数列{}中存在三项,,,成等差数列
不妨设r<s<t,则2=+
即
又
(Ⅲ)当k为奇数时
方法二:(数学归纳发)
当n=1是,左边=0,右边=0,显然不等式成立
设n=k+1时:
又
n=k+1时结论成立。
综上,对一切正整数n结论成立。
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