题目内容
22、函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导，导函数f'（x）是减函数，且f′（x）＞0．设x0∈（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））得的切线方程，并设函数g（x）=kx+m．
（Ⅰ）用x0、f（x0）、f′（x0）表示m；
（Ⅱ）证明：当x0∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）．
（Ⅰ）用x0、f（x0）、f′（x0）表示m；
（Ⅱ）证明：当x0∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）．
分析：（I）先利用点斜式表示出切线方程，然后根据切线方程与y=kx+m是同一直线建立等式关系，求出m即可；
（II）比较g（x）与f（x）的大小可利用作差比较，构造函数h（x）=g（x）-f（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，求出函数h（x）的最小值，即可证得结论．
（II）比较g（x）与f（x）的大小可利用作差比较，构造函数h（x）=g（x）-f（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，求出函数h（x）的最小值，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）
∴m=f（x0）-x0f'（x0）．
（Ⅱ）证明：令h（x）=g（x）-f（x），则h'（x）=f'（x0）-f'（x），h'（x0）=0．
因为f'（x）递减，所以h'（x）递增，因此，当x＞x0时，h'（x）＞0；
当x＜x0时，h'（x）＜0．所以x0是h（x）唯一的极值点，且是极小值点，
可知h（x）的最小值为0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．
∴m=f（x0）-x0f'（x0）．
（Ⅱ）证明：令h（x）=g（x）-f（x），则h'（x）=f'（x0）-f'（x），h'（x0）=0．
因为f'（x）递减，所以h'（x）递增，因此，当x＞x0时，h'（x）＞0；
当x＜x0时，h'（x）＜0．所以x0是h（x）唯一的极值点，且是极小值点，
可知h（x）的最小值为0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及比较两函数的大小，比较大小常常运用作差法进行比较，属于中档题．
练习册系列答案
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