$\underset{lim}{n→∞}$($\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}-\frac{2n-1}{2n}$)=0．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

15．$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}…\frac{2n-1}{2n}$）=0．

分析由题意知$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{2n}{2n+1}$，从而可得0＜$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}…\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$，从而求极限．

解答解：∵$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{2n}{2n+1}$，
∴（$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}…\frac{2n-1}{2n}$）²=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$×$\frac{2n-1}{2n}$
＜$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{5}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$×$\frac{2n}{2n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴0＜$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}…\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$，
又∵$\underset{lim}{n→∞}$0=0，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$=0，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}…\frac{2n-1}{2n}$）=0，
故答案为：0．

点评本题考查了极限的求法．

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