Question

（1）设x∈R，比较x³与x²-x+1的大小．
（2）设a>0，b>0，求证：≥．

Answer 1

（1）解： ∵ x³-(x²-x+1)= x³-x²+x-1=x²(x-1)+(x-1)=(x-1)(x²+1)，
……………………3分
∵ x∈R，x²+1>0．
故当x>1时，(x-1)(x²+1)>0，∴ x³>x²-x+1；
当x=1时，(x-1)(x²+1)=0，∴ x³=x²-x+1；
当x<1时，(x-1)(x²+1)<0，∴ x³<x²-x+1.       ……………………5分
（2）证明：∵ ≥，
≥，            ……………………9分
两式相加得
+≥，
整理得≥．               …………………10分
（注：该题也可用作差法证，类比给分）

略