题目内容
如图,现在要在一块半径为1m.圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在AB弧上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设∠BOP=θ.平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式;
(2)求S的最大值及相应θ的值.
分析:(1)根据题设条件合理建立方程,从而导出S关于θ的函数关系式.
(2)利用三角函数求出S的最大值及相应θ的值.
(2)利用三角函数求出S的最大值及相应θ的值.
解答:解:①分别过点P、Q作PD⊥OB,QE⊥OB,垂足分别为D、E,则四边形QEDP是矩形.
PD=sinθ,OD=cosθ.
在Rt△OEQ中,∠AOB=
,
则OE=
QE=
PD.
所以MN=PQ=DE=OD-OE=cosθ-
sinθ.
则S=MN×PD=(cosθ-
sinθ)×sinθ=sinθcosθ-
sin2θ,θ∈(0,
).
(2)S=
sin2θ-
(1-cos2θ)=
sin2θ+
cos2θ-
=
sin(2θ+
)-
.
因为0<θ<
,所以
<2θ+
<
,
所以
<sin(2θ+
)≤1.所以当2θ+
=
,即θ=
时,S的值最大为
m2.
即S的最大值是
m2,相应θ的值是
.
PD=sinθ,OD=cosθ.
在Rt△OEQ中,∠AOB=
π |
3 |
则OE=
| ||
3 |
| ||
3 |
所以MN=PQ=DE=OD-OE=cosθ-
| ||
3 |
则S=MN×PD=(cosθ-
| ||
3 |
| ||
3 |
π |
3 |
(2)S=
1 |
2 |
| ||
6 |
1 |
2 |
| ||
6 |
| ||
6 |
| ||
3 |
π |
6 |
| ||
6 |
因为0<θ<
π |
3 |
π |
6 |
π |
6 |
5π |
6 |
所以
1 |
2 |
π |
6 |
π |
6 |
π |
2 |
π |
6 |
| ||
6 |
即S的最大值是
| ||
6 |
π |
6 |
点评:挖掘题设条件,合理运用三角函数是正确解题的关键.
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