题目内容

精英家教网如图,现在要在一块半径为1m.圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在AB弧上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设∠BOP=θ.平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式;
(2)求S的最大值及相应θ的值.
分析:(1)根据题设条件合理建立方程,从而导出S关于θ的函数关系式.
(2)利用三角函数求出S的最大值及相应θ的值.
解答:解:①分别过点P、Q作PD⊥OB,QE⊥OB,垂足分别为D、E,则四边形QEDP是矩形.
PD=sinθ,OD=cosθ.
在Rt△OEQ中,∠AOB=
π
3

则OE=
3
3
QE=
3
3
PD.
所以MN=PQ=DE=OD-OE=cosθ-
3
3
sinθ.
则S=MN×PD=(cosθ-
3
3
sinθ)×sinθ=sinθcosθ-
3
3
sin2θ,θ∈(0,
π
3
).
(2)S=
1
2
sin2θ-
3
6
(1-cos2θ)=
1
2
sin2θ+
3
6
cos2θ-
3
6
=
3
3
sin(2θ+
π
6
)-
3
6

因为0<θ<
π
3
,所以
π
6
<2θ+
π
6
6

所以
1
2
<sin(2θ+
π
6
)≤1.所以当2θ+
π
6
=
π
2
,即θ=
π
6
时,S的值最大为
3
6
m2
即S的最大值是
3
6
m2,相应θ的值是
π
6
点评:挖掘题设条件,合理运用三角函数是正确解题的关键.
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