Question

（12分）已知定点，B是圆（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E.

   （1）求动点E的轨迹方程；

           （2）设直线与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：OPQ面积的最大值及此时直线的方程.

Answer 1

解：（1）由题知    （2分）

    又

点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，

E的轨迹方程为                            （4分）

   （2）设，PQ的中点为

    将直线与联立得

    ，即  ①          

    又

    依题意有，整理得          ②  （6分）

    由①②可得，

                                 （7分）

    设O到直线的距离为，则

   

                  （10分）

    当时，的面积取最大值1，此时，

    直线方程为