Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px上一点 到焦点F距离为1，
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l过点（0，2）与抛物线交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：依据抛物线的定义知：A到抛物线焦点F的距离为 ，

所以p=1，抛物线的方程为y2=2x；

（2）解：依题意，直线l的方程设为y=kx+2（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），

联立 得ky2﹣2y+4=0，

由△=4﹣16k＞0，得 ；

∵OM⊥ON，∴ ，即x1x2+y1y2=0

∴ ，即 ，解得k=﹣1

所以直线l的方程为y=﹣x+2，即x+y﹣2=0

【解析】（1）利用抛物线的定义建立方程，求出p，即可求出抛物线C的方程；（2）联立 得ky2﹣2y+4=0，利用OM⊥ON， ，即x1x2+y1y2=0，求出k，即可求直线的方程．