题目内容

(本小题满分13分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=CC1,M为AB的中点。

(Ⅰ)求证:BC1∥平面MA1C;
(Ⅱ)求证:AC1⊥平面A1BC。
(Ⅰ)设AC1∩A1C=O,连结MO,四边形AA1C1C为矩形,AO=OC1AO=OC1,AM=MB,所以MO∥BC1所以∥平面MA1C(Ⅱ)矩形AA1C1C中,因为AC=CC1,所以AC1⊥A1C,直三棱柱ABC-A1B1C1,所以CC1⊥BC,因为AC⊥BC BC⊥平面ACC1A1所以BC⊥AC1所以AC1⊥平面A1BC

试题分析:(Ⅰ)如图,设AC1∩A1C=O,连结MO,

因为直三棱柱ABC-A1B1C1
所以四边形AA1C1C为矩形,
所以AO=OC1,
在△AC1B中,因为AO=OC1,AM=MB,
所以MO∥BC1.                      3分
又因为平面MA1C,MO平面MA1C,
所以∥平面MA1C。             6分
(Ⅱ)在矩形AA1C1C中,因为AC=CC1
所以AC1⊥A1C。                  8分
因为直三棱柱ABC-A1B1C1
所以CC1⊥BC,
又因为AC⊥BC,AC∩CC1=C,
所以BC⊥平面ACC1A1,        10分
所以BC⊥AC1。               11分
又因为BC∩A1C=C,AC1⊥A1C,
所以AC1⊥平面A1BC。      13分
点评:平面外一直线与平面内一直线平行,则直线平行于平面;一条直线垂直于平面内两条相交直线,则直线垂直于平面
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