题目内容

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω>0,|φ|<
π
2
)
的图象与y轴交于(0,3
2
)
,它在y右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(m,6)和(m+
π
2
,-6)

(1)求函数f(x)的解析式及m的值;
(2)若锐角θ满足tanθ=2
2
,求f(θ).
(1)由函数的图象在y右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(m,6)和(m+
π
2
,-6)
,可得A=6,
1
2
•T
=
1
2
 ω
=(m+
π
2
)-m=
π
2
,求得ω=2.
把点(0,3
2
)
代入函数的解析式可得 6sin(2×0+φ)=3
2
,解得sinφ=
2
2
,再由|φ|<
π
2
,求得φ=
π
4

故f(x)=6sin(2x+
π
4
).
函数在y右侧的第一个最高点的坐标分别为(m,6),故2m+
π
4
=
π
2
,解得 m=
π
8

(2)若锐角θ满足tanθ=2
2
,θ∈(0,
π
2
),∴sinθ=
2
2
3
,cosθ=
1
3

f(θ)=6sin(2θ+
π
4
 )=6sin2θ•cos
π
4
+6cos2θ•sin
π
4
=6
2
sinθcosθ+3
2
(2cos2θ-1)
=6
2
×
2
2
3
×
1
3
+3
2
(2×
1
9
-1)=
8-7
2
3
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