题目内容

设
a
=(sin2
π+2x
4
，cosx+sinx)，
b
=（4sin x，cos x-sin x），f（x）=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间[-
π
2
，
2π
3
]是增函数，求ω的取值范围；
（3）设集合A={x|
π
6
≤x≤
2π
3
}，B={x||f（x）-m|＜2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．
（1）f（x）=sin2
π+2x
4
•4sinx+（cosx+sinx）•（cosx-sinx）
=4sinx•
1-cos(
π
2
+x)
2
+cos2x
=2sinx（1+sinx）+1-2sin2x=2sinx+1，
∴f（x）=2sinx+1．

（2）∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0．
由2kπ-
π
2
≤ωx≤2kπ+
π
2
，
得f（ωx）的增区间是(
2kπ
ω
-
π
2ω
，
2kπ
ω
+
π
2ω
)，k∈Z．
∵f（ωx）在(-
π
2
，
2π
3
)上是增函数，
∴(-
π
2
，
2π
3
)⊆(-
π
2ω
，
π
2ω
)．
∴-
π
2
≥-
π
2ω
且
2π
3
≤
π
2ω
，
∴ω∈(0，
3
4
]．

（3）由|f（x）-m|＜2，得-2＜f（x）-m＜2，即f（x）-2＜m＜f（x）+2．
∵A⊆B，∴当
π
6
≤x≤
2
3
π时，
不等式f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立，
∴f（x）min-2＜m＜f（x）max+2，
∵f（x）max=f（
π
2
）=3，f（x）min=f（
π
6
）=2，
∴m∈（1，4）．
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设
a
=(sin2
π+2x
4
，cosx+sinx)，
b
=（4sin x，cos x-sin x），f（x）=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间[-
π
2
，
2π
3
]是增函数，求ω的取值范围；
（3）设集合A={x|
π
6
≤x≤
2π
3
}，B={x||f（x）-m|＜2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．
设
a
=(sin2
π+2x
4
，cosx+sinx)，
b
=(4sinx，cosx-sinx)，f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间[-
π
2
，
2π
3
]上是增函数，求ω的取值范围．
设a＞0为常数，已知函数f（x）=cos2（x-
2π
3
）+sin2（x-
5π
6
）+asin
x
2
cos
x
2
的最大值为3，求a的值．
已知f(x)=logsinθx，θ∈(0，
π
2
)，设a=f(
sinθ+cosθ
2
)，b=f(
sinθ•cosθ
)，c=f(
sin2θ
sinθ+cosθ
)，那么a、b、c的大小关系是
a≤b≤c
a≤b≤c
．

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