题目内容
已知f(x)=logsinθx，θ∈(0，
)，设a=f(
)，b=f(
)，c=f(
)，那么a、b、c的大小关系是
| π |
| 2 |
| sinθ+cosθ |
| 2 |
| sinθ•cosθ |
| sin2θ |
| sinθ+cosθ |
a≤b≤c
a≤b≤c
．分析：化简a为logsinθ
，b为logsinθ
，c为logsinθ
，利用基本不等式可得
≥
，用比较法可得
≥
．再由函数y=logsinθx是单调减函数可得a、b、c的大小关系．
| sinθ+cosθ |
| 2 |
| sinθcosθ |
| 2sinθ•cosθ |
| sinθ+cosθ |
| sinθ+cosθ |
| 2 |
| sinθcosθ |
| sinθcosθ |
| 2sinθ•cosθ |
| sinθ+cosθ |
解答：解：由题意可得a=f(
)=logsinθ
，
b=f(
)=logsinθ
，
c=f(
)=logsinθ
．
∵θ∈（ 0，
），∴1＞sinθ＞0，1＞cosθ＞0，∴
≥
，
∴logsinθ
≤logsinθ
，即 a≤b．
∵(
)2-(
)2=sinθcosθ-
=
=
=
=
≥0，
∴
≥
．
综上可得
≥
≥
．再由函数y=logsinθx是单调减函数可得，
a≤b≤c，
故答案为a≤b≤c．
| sinθ+cosθ |
| 2 |
| sinθ+cosθ |
| 2 |
b=f(
| sinθ•cosθ |
| sinθcosθ |
c=f(
| sin2θ |
| sinθ+cosθ |
| 2sinθ•cosθ |
| sinθ+cosθ |
∵θ∈（ 0，
| π |
| 2 |
| sinθ+cosθ |
| 2 |
| sinθcosθ |
∴logsinθ
| sinθ+cosθ |
| 2 |
| sinθcosθ |
∵(
| sinθcosθ |
| 2sinθ•cosθ |
| sinθ+cosθ |
| 4sin2θcos2θ |
| 1+2sinθcosθ |
| sinθcosθ +2sin2θcos2θ-4sin2θcos2θ |
| 1+2sinθcosθ |
| sinθcosθ -2sin2θcos2θ |
| 1+2sinθcosθ |
=
| sinθcosθ(1 -2sinθcosθ) |
| 1+2sinθcosθ |
| sinθcosθ(sinθ-cosθ)2 |
| 1+2sinθcosθ |
∴
| sinθcosθ |
| 2sinθ•cosθ |
| sinθ+cosθ |
综上可得
| sinθ+cosθ |
| 2 |
| sinθcosθ |
| 2sinθ•cosθ |
| sinθ+cosθ |
a≤b≤c，
故答案为a≤b≤c．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，基本不等式的应用，比较两个数大小的方法，属于中档题．
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