Question

设

a

=(sin2

π+2x

4

，cosx+sinx)，

b

=(4sinx，cosx-sinx)，f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间[-

π

2

，

2π

3

]上是增函数，求ω的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积，结合二倍角的正弦函数余弦函数以及两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可得到函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）通过ω＞0，求出y=f（ωx）的单调增区间，利用函数在区间[-

π

2

，

2π

3

]上是增函数，列出ω的方程组，即可求ω的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

=sin2

π+2x

4

•4sinx+(cosx+sinx)•(cosx-sinx)
=

1-cos2( π+2x 4 )

2

•4sinx+cos2x-sin2x
=2[1-cos(

π

2

+x)]•sinx+cos2-sin2x 
=2sinx（1+sinx）+1-2sin²x
=2sinx+2sin²x+1-2sin²x=2sinx+1
所以f（x）=2sinx+1．
（Ⅱ）f（ωx）=2sinωx+1
根据正弦函数的单调性：2kπ-

π

2

≤ωx≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
解得f（x）的单增区间为[-

π

2ω

，

π

2ω

]．
又由已知f（x）的单增区间为[-

π

2

，

2π

3

]
所以有[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]．
即 

- π 2ω ≤- π 2 π 2ω ≥ 2π 3

解得ω≤

3

4

．
所以ω的取值范围是(0，

3π

4

]．

点评：本题考查二倍角的三角函数以及两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性的应用，考查计算能力．