题目内容

下列命题:①若区间D内任意实数x都有f(x+1)>f(x),则y=f(x)在D上是增函数;②在定义域内是增函数;③函数图象关于原点对称;④如果关于实数x的方程的所有解中,正数解仅有一个,那么实数a的取值范围是a≤0;  其中正确的序号是   
【答案】分析:根据函数单调性的定义,我们可以判断①的真假;根据反比例函数的图象和性质,我们可以判断②的真假;根据函数奇偶性的定义及图象特征,可以判断③的真假;根据方程根与函数零点的关系,我们判断出关于实数x的方程的所有解中,正数解仅有一个时,参数a的取值范围,即可判断④的真假,进而得到答案.
解答:解:①若区间D内任意实数x都有f(x+1)>f(x),但不一定满足增函数的定义,则y=f(x)在D上是增函数错误;
在(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数,但在其定义域内不是增函数,故②错误;
③∵函数为奇函数,∴函数的图象关于原点对称,故③正确;
④将方程改写为,令 ,y2=3x-ax2
“关于实数x的方的所有解中,仅有一个正数解”等价于“双曲线与y2=3x-ax2的图象在y轴右侧只有一个交点”.
双曲线在第一、三象限内.
当a>0时,抛物线y2=3x-ax2的开口向下且过原点(0,0)及x轴正半轴上的点 (3a,0),研究知,当a<2时,双曲线与抛物线y2=3x-ax2在第一象限内有两个交点,当a>2时,两曲线在第一象限无交点,当a=2进,两曲线仅有一个交点,故a=2符合题意.
当a=0时,y2=3x-ax2为直线,此时,双曲线与直线y2=3x在第一象限内只有一个交点,故a=0符合题意.
当a<0时,抛物线y2=3x-ax2的开口向上且过原点(0,0)及x轴负半轴上的点 (3a,0),此时,双曲线 与抛物线y2=3x-ax2在第一象限内仅有一个交点,故a<0符合题意.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,0]∪{2}.,故④错误;
故答案为:③
点评:本题考查的知识点是函数奇偶性的判断,方根根的个数及判断,对称图形,函数单调性的定义及判断,熟练掌握函数图象及性质,是解答本题的关键.
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