Question

下列命题：①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在D上是增函数；②y=-

1

x

在定义域内是增函数；③函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

图象关于原点对称；④如果关于实数x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，正数解仅有一个，那么实数a的取值范围是a≤0；  其中正确的序号是

③

．

Answer 1

分析：根据函数单调性的定义，我们可以判断①的真假；根据反比例函数的图象和性质，我们可以判断②的真假；根据函数奇偶性的定义及图象特征，可以判断③的真假；根据方程根与函数零点的关系，我们判断出关于实数x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，正数解仅有一个时，参数a的取值范围，即可判断④的真假，进而得到答案．

解答：解：①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），但不一定满足增函数的定义，则y=f（x）在D上是增函数错误；
②y=-

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上均为增函数，但在其定义域内不是增函数，故②错误；
③∵函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

为奇函数，∴函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

的图象关于原点对称，故③正确；
④将方程ax2+

1

x

=3x改写为

1

x

=3x-ax2，令 y1=

1

x

，y₂=3x-ax²．
“关于实数x的方ax2+

1

x

=3x的所有解中，仅有一个正数解”等价于“双曲线y1=

1

x

与y₂=3x-ax²的图象在y轴右侧只有一个交点”．
双曲线y1=

1

x

在第一、三象限内．
当a＞0时，抛物线y₂=3x-ax²的开口向下且过原点（0，0）及x轴正半轴上的点 （3a，0），研究知，当a＜2时，双曲线y1=

1

x

与抛物线y₂=3x-ax²在第一象限内有两个交点，当a＞2时，两曲线在第一象限无交点，当a=2进，两曲线仅有一个交点，故a=2符合题意．
当a=0时，y₂=3x-ax²为直线，此时，双曲线y1=

1

x

与直线y₂=3x在第一象限内只有一个交点，故a=0符合题意．
当a＜0时，抛物线y₂=3x-ax²的开口向上且过原点（0，0）及x轴负半轴上的点 （3a，0），此时，双曲线 y1=

1

x

与抛物线y₂=3x-ax²在第一象限内仅有一个交点，故a＜0符合题意．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}．，故④错误；
故答案为：③

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，方根根的个数及判断，对称图形，函数单调性的定义及判断，熟练掌握函数图象及性质，是解答本题的关键．