题目内容

已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数满足:
①对任意的,当时,有成立;
②对恒成立.求实数的取值范围.
(1)上单调递减,上单调递增;(2).

试题分析:(1)先对求导,分析出导函数是单调递增的,并得.从而得到时,,当时,.即求出函数的单调区间;(2)先由(1)中的单调区间知异号.再证明结论:当时,对任意的成立;时,对任意的成立.从而得出当时,有成立.然后在的范围内研究对恒成立问题.通过在的最值,再由最大值与最小值的差要小于或等于从而得到实数的取值范围.
试题解析:(1)
,则,从而上单调递增,即内单调递增,又
所以当时,,当时,
上单调递减,上单调递增.              4分
(2)①由(1)可知,当 时,必异号,不妨设. 我们先证明一个结论:当时,对任意的成立;时,对任意的成立.
事实上,    
构造函数
,(当且仅当时等号成立).又
时,,所以上是单调递减,此时,对任意的成立.当时,,所以上是单调递增,此时对任意的成立;
时,,由于上单调递减,所以.同理.
时,当且仅当时,有成立.         8分
时,由(1)可得

构造函数所以在上单调递增,又所以,当,即
所以.
因为,若要题设中的不等式恒成立,只需成立即可.
构造函数,所以上递增. 又所以,由,                 12分
所以, 因此的取值范围为.                 13分
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