题目内容
已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数满足:
①对任意的,,当时,有成立;
②对恒成立.求实数的取值范围.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数满足:
①对任意的,,当时,有成立;
②对恒成立.求实数的取值范围.
(1)在上单调递减,在上单调递增;(2).
试题分析:(1)先对求导,分析出导函数是单调递增的,并得.从而得到时,,当时,.即求出函数的单调区间;(2)先由(1)中的单调区间知异号.再证明结论:当时,对任意的有成立;时,对任意的有成立.从而得出当时,有成立.然后在的范围内研究对恒成立问题.通过在求的最值,再由最大值与最小值的差要小于或等于从而得到实数的取值范围.
试题解析:(1),
令,则,从而在上单调递增,即在内单调递增,又,
所以当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增. 4分
(2)①由(1)可知,当, 时,必异号,不妨设,. 我们先证明一个结论:当时,对任意的有成立;时,对任意的有成立.
事实上,
构造函数,
,(当且仅当时等号成立).又
当时,,所以在上是单调递减,此时,对任意的有成立.当时,,所以在上是单调递增,此时对任意的有成立;
当时,,由于在上单调递减,所以,.同理,.
当时,当且仅当时,有成立. 8分
②时,由(1)可得,
又
构造函数,所以在上单调递增,又所以,当时,即,
所以.
因为,若要题设中的不等式恒成立,只需成立即可.
构造函数,所以在上递增. 又所以,由得, 12分
又所以, 因此的取值范围为. 13分
练习册系列答案
相关题目