已知等差数列{log4(an-1)}(n∈N*).且a1=5.a3=65.函数f(x)=x2-4x+4.设数列{bn}的前n项和为Sn=f(n).(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式,(2)记数列cn=(an-1)•bn.且{cn}的前n项和为Tn.求Tn,(3)设各项均不为零的数列{dn}中.所有满足dk•dk+1＜0的整数k的个数称� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知等差数列{log₄（a_n-1）}（n∈N^*），且a₁=5，a₃=65，函数f（x）=x²-4x+4，设数列{b_n}的前n项和为S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）记数列c_n=（a_n-1）•b_n，且{c_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）设各项均不为零的数列{d_n}中，所有满足d_k•d_k+1＜0的整数k的个数称为这个数列的异号数，令d_n=

bn-4

（n∈N^*），试问数列{d_n}是否存在异号数，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

分析：（1）由于已知等差数列{log₄（a_n-1）}（n∈N^*），且a₁=5，a₃=65，设等差数列{log₄（a_n-1）}的公差为d，利用条件建立方程可以求得得a_n=4ⁿ+1，再有函数f（x）=x²-4x+4，设数列{b_n}的前n项和为S_n=f（n），利用已知数列的前n项和求出通项即可；
（2）有（1）可得c₁=4×1，当n≥2时，c_n=4ⁿ×（2n-5），利用错位相减法即可求数列c_n=（a_n-1）•b_n，且{c_n}的前n项和为T_n；
（3）由题意可得d_n=

-3 (n=1)

2n-5

(n≥2)

，代入求的k=1，k=2时都满足d_k•d_k+1＜0，当n≥3时，数列{d_n}单调递增，利用单调性即可解的．

解答：解：（1）设等差数列{log₄（a_n-1）}的公差为d，
所以2log₄（a₂-1）=log₄（a₁-1）+log₄（a₃-1），
即2[log₄（5-1）+d]=log₄（5-1）+log₄（65-1），
得d=1，所以log₄（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，得a_n=4ⁿ+1，
由S_n=f（n）=n²-4n+4=（n-2）²，
当n=1时，b₁=S₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5，验证n=1时不满足此式，所以b_n=

1 (n=1)

2n-5 (n≥2)

（2）由（1）可得，当n=1时，c₁=4×1，
当n≥2时，c_n=4ⁿ×（2n-5），
所以T_n=4×1+4²×（-1）+4³×1+4⁴×3++4ⁿ×（2n-5），①
4T_n=4²+4³×（-1）+4⁴×1+4⁵×3++4ⁿ×（2n-7）+4ⁿ⁺¹×（2n-5），②
①减去②得
-3T_n=-28+4³×2+4⁴×2+4⁵×2++4ⁿ×2-4ⁿ⁺¹×（2n-5）=-28+

128×(4n-2-1)

4-1

-4ⁿ⁺¹×（2n-5），
故T_n=

128×(4n-2-1)

4n+1×(2n-5)

．
（3）由题意可得d_n=

-3 (n=1)

2n-5

(n≥2)

，
因为d₁=-3＜0，d₂=1+4=5＞0，d₃=-3＜0，
所以k=1，k=2时都满足d_k•d_k+1＜0，
当n≥3时，d_n+1-d_n=

2n-5

2n-3