题目内容
已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1=b1=1，a4=7，a5=b2，且存在常数α，β使得对每一个正整数n都有an=logαbn+β，则α+β=
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．分析：首先利用等差数列的通项公式以及已知条件求出d=2，再由a5=b2 求出公比q，即可求出数列{an}和{bn}的通项公式，再根据an=logαbn+β得出 2n-1=logα 9 n-1+β．令n=1可得
β=1，再令n=2可得α=3，由此求得 α+β 的值．
β=1，再令n=2可得α=3，由此求得 α+β 的值．
解答：解：设公差为d，公比为q，由题意可得 a4=7=a1+3d，解得 d=2．
∴a5=b2 =a1+4d=9=1×q，即 q=9．
∴an=1+（n-1）×2=2n-1，bn=1×9n-1=9n-1．再由an=logαbn+β，可得 2n-1=logα 9 n-1+β．
令n=1可得 β=1，
令n=2可得logα9=2，解得α=3，
∴α+β=4，
故答案为 4．
∴a5=b2 =a1+4d=9=1×q，即 q=9．
∴an=1+（n-1）×2=2n-1，bn=1×9n-1=9n-1．再由an=logαbn+β，可得 2n-1=logα 9 n-1+β．
令n=1可得 β=1，
令n=2可得logα9=2，解得α=3，
∴α+β=4，
故答案为 4．
点评：本题考查了对数的运算性质、等差数列和等比数列的性质，根据条件求出d、和q的值，是解题的关键，属于中档题．
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