题目内容

已知{an}是公差不为0的等差数列,{bn}是等比数列,其中a1=b1=1,a4=7,a5=b2,且存在常数α,β使得对每一个正整数n都有an=logαbn+β,则α+β=
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分析:首先利用等差数列的通项公式以及已知条件求出d=2,再由a5=b2 求出公比q,即可求出数列{an}和{bn}的通项公式,再根据an=logαbn+β得出 2n-1=logα n-1+β.令n=1可得
β=1,再令n=2可得α=3,由此求得 α+β 的值.
解答:解:设公差为d,公比为q,由题意可得 a4=7=a1+3d,解得 d=2.
∴a5=b2 =a1+4d=9=1×q,即 q=9.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=1×9n-1=9n-1.再由an=logαbn+β,可得 2n-1=logα n-1+β.
令n=1可得 β=1,
令n=2可得logα9=2,解得α=3,
∴α+β=4,
故答案为 4.
点评:本题考查了对数的运算性质、等差数列和等比数列的性质,根据条件求出d、和q的值,是解题的关键,属于中档题.
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