题目内容

已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx(其中A、B、ω是非零常数,且ω>0)的最小正周期为2,且当x=
1
3
时,f(x)取得最大值2.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求函数f(x+
1
6
)的单调递增区间,并指出该函数的图象可以由函数y=2sinx,x∈R的图象经过怎样的变换得到?
(3)在闭区间[
21
4
23
4
]上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,则说明理由.
(1)∵函数f(x)=Asinωx+Bcosωx(其中A、B、ω是非零常数,且ω>0)
f(x)=
A2+B2
sin(ωx+?)

而f(x)的最小正周期为2,,∴
ω
=2
,即ω=π
又当x=
1
3
时,f(x)取得最大值2,
A2+B2=4
Asin
π
3
+Bcos
π
3
=2

而A、B非零,由此解得A=
3
,B=1

f(x)=
3
sinπx+cosπx
,即f(x)=2sin(πx+
π
6
)

(2)由(1)知:f(x)=2sin(πx+
π
6
)

f(x+
1
6
)=2sin(πx+
π
3
)

2kπ-
π
2
≤πx+
π
3
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)
 
得:2k-
5
6
≤x≤2k+
1
6
(k∈Z)

f(x+
1
6
)
的单调递增区间为[2k-
5
6
,2k+
1
6
](k∈Z)

f(x+
1
6
)=2sin(πx+
π
3
)
的图象可由y=2sinx,x∈R的图象先向左平移
π
3
个单位,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
π
倍而纵坐标不变得到.
(3)∵f(x)=2sin(πx+
π
6
)

x∈[
21
4
23
4
]
,有πx+
π
6
∈[
65π
12
71π
12
]

πx+
π
6
=
11π
2
,即x=
16
3
时,f(x)取得最大值,
∴其对称轴方程为x=
16
3
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