题目内容
已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx(其中A、B、ω是非零常数,且ω>0)的最小正周期为2,且当x=
时,f(x)取得最大值2.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求函数f(x+
)的单调递增区间,并指出该函数的图象可以由函数y=2sinx,x∈R的图象经过怎样的变换得到?
(3)在闭区间[
,
]上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,则说明理由.
1 |
3 |
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求函数f(x+
1 |
6 |
(3)在闭区间[
21 |
4 |
23 |
4 |
(1)∵函数f(x)=Asinωx+Bcosωx(其中A、B、ω是非零常数,且ω>0)
∴f(x)=
sin(ωx+?)
而f(x)的最小正周期为2,,∴
=2,即ω=π
又当x=
时,f(x)取得最大值2,
∴
而A、B非零,由此解得A=
,B=1
∴f(x)=
sinπx+cosπx,即f(x)=2sin(πx+
)
(2)由(1)知:f(x)=2sin(πx+
)
∴f(x+
)=2sin(πx+
)
由2kπ-
≤πx+
≤2kπ+
(k∈Z)
得:2k-
≤x≤2k+
(k∈Z)
∴f(x+
)的单调递增区间为[2k-
,2k+
](k∈Z)
f(x+
)=2sin(πx+
)的图象可由y=2sinx,x∈R的图象先向左平移
个单位,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍而纵坐标不变得到.
(3)∵f(x)=2sin(πx+
)
由x∈[
,
],有πx+
∈[
,
]
当πx+
=
,即x=
时,f(x)取得最大值,
∴其对称轴方程为x=
.
∴f(x)=
A2+B2 |
而f(x)的最小正周期为2,,∴
2π |
ω |
又当x=
1 |
3 |
∴
|
而A、B非零,由此解得A=
3 |
∴f(x)=
3 |
π |
6 |
(2)由(1)知:f(x)=2sin(πx+
π |
6 |
∴f(x+
1 |
6 |
π |
3 |
由2kπ-
π |
2 |
π |
3 |
π |
2 |
得:2k-
5 |
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1 |
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∴f(x+
1 |
6 |
5 |
6 |
1 |
6 |
f(x+
1 |
6 |
π |
3 |
π |
3 |
1 |
π |
(3)∵f(x)=2sin(πx+
π |
6 |
由x∈[
21 |
4 |
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4 |
π |
6 |
65π |
12 |
71π |
12 |
当πx+
π |
6 |
11π |
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3 |
∴其对称轴方程为x=
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