Question

11．已知定义域为R的连续函数 f（x），若 f（x）满足对于?x∈R，?m∈R（m≠0），都有 f（m+x）=-mf（x）成立，则称函数 f（x）为“反m倍函数”，给出下列“反m倍函数”的结论：
①若 f（x）=1是一个“反m倍函数”，则 m=-1；
②f（x）=sinπx是一个“反1倍函数”；
③f（x）=x²是一个“反m倍函数”；
④若f（x）是一个“反2倍函数”，则f（x）至少有一个零点，
其中正确结论的个数是（　　）

• A． l
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据“反m倍函数”的定义分别进行判断即可．

解答 解：根据“反m倍函数”的定义，
∵?x∈R，?m∈R（m≠0），都有 f（m+x）=-mf（x）成立，
∴f（m+x）+mf（x）=0成立，
①若f（x）=1，则f（x+m）+mf（x）=0，∴m+1=0，即m=-1，故①正确，
②若f（x）=sinπx，则f（1+x）+f（x）=sinπ（x+1）+sinπx=-sinπx+sinπx=0，故②正确，
③若f（x）=x²，则（x+m）²+mx²=0，即（m+1）x²+2mx+m²=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+1=0}\\{m=0}\end{array}\right.$，此时方程无解，故不存在m，故③错误．
④若f（x+2）+2f（x）=0，取x=0，若f（2），f（0）有一个为0即正确，若都不为0，则f（2），f（0）互为相反数，
则f（2）f（0）＜0，∴在区间（0，2）内一定有零点，故④正确，
故正确的是①②④，
故选：C．

点评 本题主要考查命题的真假判断，根据抽象函数的表达式结合“反m倍函数”的定义是解决本题的关键．