Question

如图：在椭圆+=1中有一内接矩形ABCD（四个顶点都在椭圆上），A点在第一象限内．当内接矩形ABCD的面积最大时，点A的坐标是（ ）

A．（，2）
B．（，2）
C．（，）
D．（1，）

Answer 1

【答案】分析：先根据椭圆参数方程设出A点坐标，则椭圆+=1的内接矩形ABCD的面积可用A点坐标表示，就把矩形ABCD的面积用含参数θ的式子表示，再利用正弦函数的有界性判断θ为何值时，面积有最大值．
解答：解：∵A点在椭圆+=1上，∴可设A（5cosθ，4sinθ）
∴矩形ABCD的面积为4×（5cosθ）（4sinθ）=80cosθsinθ=40sin2θ
∵sin2θ≤1，且当2θ=时等号成立，
∴40sin2θ≤40，且当2θ=时等号成立，
∴当2θ=，即θ=时，椭圆+=1的内接矩形ABCD面积有最大值，此时A（，）
故选A
点评：本题主要考查椭圆的参数方程在求最值时的应用，其中结合了三角函数的有界性，属于综合题．