题目内容

如图，在椭圆C中，点F₁是左焦点，A（a，0），B（0，b）分别为右顶点和上顶点，点O为椭圆的中心．又点P在椭圆上，且满足条件：OP∥AB，点H是点P在x轴上的射影．
（1）求证：当a取定值时，点H必为定点；
（2）如果点H落在左顶点与左焦点之间，试求椭圆离心率的取值范围；
（3）如果以OP为直径的圆与直线AB相切，且凸四边形ABPH的面积等于 $数学公式$ ，求椭圆的方程．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，OP∥AB，得 $\text{[math]}$ ，
代入椭圆方程 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∵PH⊥x轴，∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∵a为定值，∴H为定点；（4分）
（2）∵点H落在左顶点与左焦点之间，
∴只有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
可解得 $\text{[math]}$ ；（4分）
（3）以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于 $\text{[math]}$ ．
由条件设直线 $\text{[math]}$ ，
则点O到直线AB的距离 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ①
又由 $\text{[math]}$ ，
得ab=4．②由①②解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以所求椭圆方程为： $\text{[math]}$ ．（6分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，OP∥AB，得 $\text{[math]}$ ，代入椭圆方程 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由此能够证明当a取定值时，点H必为定点．
（2）由点H落在左顶点与左焦点之间，知只有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆离心率的取值范围．
（3）以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于 $\text{[math]}$ ．由条件设直线 $\text{[math]}$ ，点O到直线AB的距离 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ ，
能够得到所求椭圆方程．
点评：本题考查定点的证明、离心率取值范围的确定和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．