Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=12，将举行制品的右下角沿线段MN折叠，使矩形的顶点B落在矩形的边AD上，记该点为E，且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB，BC上，设∠MNB=θ，MN=l，△EMN的面积为S，
（1）将l表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；
（2）问当θ为何值时，△EMN的面积S取得最小值？并求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）将一个图形折起，注意其中变与不变的量，表示出要用的量，根据两条线段的长度之和，写出关于l的方程，表示出结果，得到函数式．
（2）对函数式求导，根据换元时的自变量的值，使得导函数等于0，解出自变量的值，根据函数的单调性求出函数的最小值．

解答：解：（1）设将矩形纸片的右下角折起后，顶点B落在边AD上的E处，则∠ENM=θ，∠EMA=2θ
从而有：NB=lcosθ，MB=ME=lsinθ，AM=MEcos2θ=lsinθcos2θ．
∵AM+MB=6，∴lsinθcos2θ+lsinθ=6，
得：l=

6

sinθ•(cos2θ+1)

=

3

sinθ•cos2θ

又BN≤12，BM≤6，∴

π

12

≤θ≤

π

4

，∴l=

3

sinθ•cos2θ

(

π

12

≤θ≤

π

4

)
（2）S=

1

2

l2sinθcosθ=

9

2

•

1

sinθcos3θ

(

π

12

≤θ≤

π

4

)，∴S2=

81

4

•

1

sin2θcos6θ

设t=cos2θ(

1

2

≤t≤

2+ 3

4

)，记f（t）=t³-t⁴∴f′（t）=3t²-4t³
令f′（t）=0，∴t=

3

4

∴t=

3

4

时，即θ=

π

6

时f（t）取得最大值为

27

256

，S去最小值为8

3

点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离注意应用三角形的边与角．