Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的端点M，N分别位于边AB，BC上，设∠MNB=θ，sinθ=t，MN长度为l．
（1）试将l表示为t的函数l=f（t）；
（2）求l的最小值．

Answer 1

分析：（1）将一个图形折起，注意其中变与不变的量，表示出要用的量，根据两条线段的长度之和，写出关于l的方程，表示出结果，得到函数式．
（2）对函数式求导，根据换元时的自变量的值，使得导函数等于0，解出自变量的值，根据函数的单调性求出函数的最小值．

解答：解：（1）设将矩形纸片的右下角折起后，顶点B落在边AD上的B′处，则∠B′NM=θ，∠B′MA=2θ
从而有：NB=lcosθ，MB=MB′=lsinθ，AM=MB′cos2θ=lsinθcos2θ．
∵AM+MB=6，∴lsinθcos2θ+lsinθ=6，
得：l=

6

sinθ•(cos2θ+1)

=

3

sinθ•(1-sin2θ)

=

3

t-t3

，即f（t）=

3

t-t3

（2）由图知，当M点在A时，θ取到最大值

π

4

，当N点与C重合时，θ取到最小值

π

12

，则

π

12

≤θ≤

π

4

，
又sinθ=t，则

6 - 2

4

≤t≤

2

2

，
设u=t-t³，u'=1-3t²，令u'=0，得t=

3

3

当

6 - 2

4

＜t＜

3

3

时，u'＞0，当

3

3

＜t＜

2

2

时，u'＜0，
所以当t=

3

3

时，u取到最大值：

3

3

-

1

3

•

3

3

=

2 3

9

l的最小值为

3

2 3 9

=

9 3

2

cm

点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离注意应用三角形的边与角．