Question

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)
（1）当a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求实数b的取值范围；
（2）令V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），如果V（x）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（0＜x₁＜x₂），且线段AB的中点为C（x₀，0），函数V（x）的导函数为V′（x），求证：V′（x₀）≠0．

Answer 1

分析：（1）求导函数，可得h′(x)=

1

x

+2x-b≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，求出函数的最值，即可求实数b的取值范围；
（2）利用反证法，求导函数，利用V（x）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（0＜x₁＜x₂），且线段AB的中点为C（x₀，0），从而可引出矛盾．

解答：（1）解：由题意，h（x）=lnx+x²-bx，
∵函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，
∴h′(x)=

1

x

+2x-b≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立
分离参数可得b≤(

1

x

+2x)min，
所以b∈(-∞，2

2

]…（4分）
（2）证明：V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），所以V′(x)=

2

x

-2x-k
令V′（x₀）=0，则由题意可得2lnx1-x12-kx1=0①；2lnx2-x22-kx2=0②
x₁+x₂=2x₀③；

2

x0

-2x0-k=0④
由①②得k=

2ln x1 x2

x1-x2

-2x0
由④得k=

2

x0

-2x0
所以

2ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

⑤（8分）
令t=

x1

x2

，则u(t)=lnt-

2t-2

t+1

(0＜t＜1)，所以u′=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
因此u（t）在（0，1）上是增函数，
所以u（t）＜u（1）=0，即ln

x1

x2

＜

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

与⑤矛盾 
因此假设不成立  
故V'（x₀）≠0（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．