题目内容

过点（0，3）作直线l，如果它与双曲线
x2
4
-
y2
3
=1有且只有一个公共点，则直线l的条数是
 
．
分析：设直线L的方程，与双曲线方程联立，进而推断要使L与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，进而根据△=0和3-4k2=0，求得k，进而判断出直线l的条数．
解答：解：设直线L：y=kx+3，
代入双曲线方程化简得
（3-4k2）x2-24kx-48=0，①
要使L与双曲线只有一个公共点，
需上述方程只有一根或两实根相等，
∴3-4k2=0，或△=192（3k2+3-4k2）=0，
解得k2=
3
4
或3，
∴k=±
3
2
或±
3

满足题设的L有4条．
故答案为4
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了数形结合在实际问题中的应用．
练习册系列答案
相关题目
设x、y∈R，
i
、
j
为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设
OP
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．
在平面直角坐标系中，若
a
=（x，y+2），
b
=（x，y-2），且|
a
|+|
b
|=8．
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设
OP
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不存在，说明理由．
过点（0，3）作直线l，若l与曲线x2-y2=4只有一个公共点，这样的直线l共有（　　）
设x，y∈R，
i
、
j
，为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设
OP
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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