题目内容
在平面直角坐标系中，若
=（x，y+2），
=（x，y-2），且|
|+|
|=8．
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设
=
+
，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不存在，说明理由．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设
| OP |
| OA |
| OB |
分析：（1）因为
=(x，y+2)，
=(x，y-2)，且|
|+|
|=8．所以动点M到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离的和为8．由此能求出动点M（x，y）的轨迹C的方程．
（2）若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．
=
+
=
，所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），由
⇒(4+3k2)x2+18kx-21=0，由于△=（18k2）-4（4+3k2）（-21）＞0恒成立．由韦达定理x1+x2=-
，x1x2=-
．因为
=
+
，所以OAPB是平行四边形．由此能够导出存在直线l：y=±
x+3，使得四边形OAPB为矩形．
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．
| OP |
| OA |
| OB |
| 0 |
|
| 18k |
| 4+3k2 |
| 21 |
| 4+3k2 |
| OP |
| OA |
| OB |
| ||
| 4 |
解答：解：（1）因为
=(x，y+2)，
=(x，y-2)，且|
|+|
|=8．
所以动点M到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离的和为8．
所以轨迹C以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点的椭圆，
方程为
+
=1．
（2）为直线l过点（0，3）．
若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．
=
+
=
，
所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
由
⇒(4+3k2)x2+18kx-21=0，
由于△=（18k2）-4（4+3k2）（-21）＞0恒成立．
由韦达定理x1+x2=-
，x1x2=-
．
因为
=
+
，
所以OAPB是平行四边形．
若存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，
则OA⊥OB，即
•
=0，
因为
=(x1，y1)，
=(x2，y2)，
所以
•
=x1x2+y1y2=0，
所以（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，
所以(1+k2)(-
)+3k(-
)+9=0
机k2=
，k=±
，
故存在直线l：y=±
x+3，使得四边形OAPB为矩形．
| a |
| b |
| a |
| b |
所以动点M到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离的和为8．
所以轨迹C以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点的椭圆，
方程为
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 16 |
（2）为直线l过点（0，3）．
若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．
| OP |
| OA |
| OB |
| 0 |
所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
由
|
由于△=（18k2）-4（4+3k2）（-21）＞0恒成立．
由韦达定理x1+x2=-
| 18k |
| 4+3k2 |
| 21 |
| 4+3k2 |
因为
| OP |
| OA |
| OB |
所以OAPB是平行四边形．
若存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，
则OA⊥OB，即
| OA |
| OB |
因为
| OA |
| OB |
所以
| OA |
| OB |
所以（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，
所以(1+k2)(-
| 21 |
| 4+3k2 |
| 18k |
| 4+3k2 |
机k2=
| 5 |
| 16 |
| ||
| 4 |
故存在直线l：y=±
| ||
| 4 |
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．易错点是计算量大，容易出错．
练习册系列答案
应用题作业本系列答案
相关题目