Question

已知函数f（x）=log_a（1+x）+log_a（1-x）（a＞0且a≠1）
（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
（2）求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）首先求出f（x）的定义域，利用对数的运算法则将函数转化为f（x）=log_a（1-x²），再由函数奇偶性的定义判断即可．
（2）由函数的定义域首先求出真数的范围，再结合对数函数的图象分a＞1和0＜a＜1两种情况求值域即可．

解答：解：（1）依题意得

1-x＞0 1+x＞0

解得-1＜x＜1
∴f（x）定义域为（-1，1），是关于原点对称区间
又f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数．
（2）∵f（x）=log_a（1-x²）∵x∈（-1，1），
∴1-x²∈（0，1]
∴当a＞1时，值域为（-∞，0]
当0＜a＜1时，值域为[0，+∞）．

点评：本题考查对数的运算法则、对数函数的定义域、值域、奇偶性等问题，同时考查分类讨论思想．