Question

如图，长方体中，，，点在上，且．

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）以为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系．则．
，．　　　                    ……2分
有，，
故，．
又，所以平面． 　　　                                     ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是平面的一个法向量，
设向量是平面的法向量，则
  
令，则，，．                                          ……10分
．
所以二面角的余弦值为．                                            ……13分

点评：用空间向量证明立体几何问题的依据还是相应的判定定理，如第一问中必须强调；另外，用法向量求二面角时，求出的可能是要求的角的补角，要仔细判断二面角时锐角还是钝角.