题目内容

设 $数学公式$ ， $数学公式$ ，定义一种向量运算： $数学公式$ ，已知 $数学公式$ ， $数学公式$ ，点P（x，y）在函数g（x）=sinx的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且满足 $数学公式$ （其中O为坐标原点）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数 $数学公式$ ，且h（x）的定义域为 $数学公式$ ，值域为[2，5]，求a，b的值．

解：（1）P（x，y）在函数g（x）=sinx的图象上运动可得，y=sinx，设Q（x₁，y₁），
∵Q满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$
又因为y=sinx
代入可得 $\text{[math]}$
即f（x）=-2acos2x
（2） $\text{[math]}$
=2asin²x $\text{[math]}$ asin2x+b
= $\text{[math]}$
∵x∈ $\text{[math]}$ ，2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ π， $\text{[math]}$ π]
当a＞0时， $\text{[math]}$
∴a=1，b=2
当a＜0时， $\text{[math]}$
∴a=-1，b=5
分析：（1）设Q（x₁，y₁），根据定义 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ 整理可得 $\text{[math]}$ ①把①代入y=sinx可求答案；
（2）由（1）可得， $\text{[math]}$ =a+b-（a+ $\text{[math]}$ a）cos2x，结合x∈ $\text{[math]}$ ，可得2x∈[π，2π]，结合余弦函数的性质，分a＞0，a＜0两种情况讨论．
点评：本题以新定义为载体，考查了向量的基本运算，二倍角公式的运算，三角函数的性质的应用，属于中档试题，具有一定的综合性．