Question

在各项均为负数的数列中，已知点在函数的图像上，且．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列，并求出其通项；
（Ⅱ）若数列的前项和为，且，求．

Answer 1

（1）；（2）.

本题考查等比数列的概念、通项，等比数列和等差数列的求和。高考对数列的考查难度在下降，其考查的重点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列，以及数列求和方面。解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本量方法，即通过列出方程或者方程组求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比。数列求和要掌握好三个方法，一个是本题使用的分组求和，第二个是错位相减法，第三个是裂项求和法。（1）把点的坐标代入直线方程，根据等比数列的定义进行证明，显然公比是，再根据条件求出首项即可求出这个数列的通项公式；（2）数列是一个等比数列和一个等差数列的对应项的和组成的数列，分别求和即可。
解：（1）因为点在函数的图像上，所以故数列是公比的等比数列因为由于数列的各项均为负数，则所以…………．6分
（2）由（1）知，，所以…12分