Question

已知函数f（x）=x²+k
（1）k=-1时，设，求h（x）=[f（x）]²-6f（x），x∈[-2，1]的最大值．
（2）若函数g（x）=

ex

f(x)

，且g（x）在区间（2，3）上不单调，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把k=-1代入f（x）中，确定出f（x）的解析式，设t=f（x），根据x的范围求出f（x）的值域，即得到t的范围，然后把h（x）中的
f（x）化为t后得到关于t的二次函数，根据t的范围即可得到y的范围，即得到y的最大值；
（2）把f（x）的解析式代入g（x）=

ex

f(x)

中，求出g（x）的导函数，因为g（x）在区间（2，3）上不单调，所以令导函数等于0得到的方程在区间（2，3）上有根，且不能有两个相等的根，列出关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的取值范围．

解答：解：（1）当k=-1时，f（x）=x²-1，又x∈[-2，1]，
故t=f（x）=x²-1∈[-1，3]，
由h（x）=[f（x）]²-6f（x），得y=t²-6t=（t-3）²-9∈[-9，7]，
也即h（x）的最大值为7．此时x=0；
（2）g(x)=

ex

x2+k

，g′(x)=

ex(x2-2x+k)

(x2+k)2

，
因为g（x）在区间（2，3）上不单调，
故g′(x)=

ex(x2-2x+k)

(x2+k)2

=0，
在区间（2，3）上有根，且不能有两个相等的根．
令g′（x）=0，有x²-2x+k=0，
则

4-4+k＜0 9-6+k＞0

，
解得-3＜k＜0．

点评：此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，会利用导数研究函数的单调性，是一道综合题．