Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是（　　）

A．?x₀∈R，f（x₀）=0

B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形

C．若x₀是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（-∞，x₀）上单调递减

D．若x₀是f（x）的极值点，则f′（x₀ ）=0

Answer 1

分析：对于A，对于三次函数f （x ）=x³+ax²+bx+c，由于当x→-∞时，y→-∞，当x→+∞时，y→+∞，故在区间（-∞，+∞）肯定存在零点；对于B：因为函数f （x ）=x³+ax²+bx+c，都可能经过中心对称图形的y=x³的图象平移得到，故其函数y=f（x）的图象是中心对称图形；对于C：采用取特殊函数的方法，若取a=-1，b=-1，c=0，则f（x）=x³-x²-x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若x₀是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x₀ ）=0，正确．

解答：解：对于三次函数f （x ）=x³+ax²+bx+c，
A：由于当x→-∞时，y→-∞，当x→+∞时，y→+∞，
故?x₀∈R，f（x₀）=0，正确；
B：②∵f（-

2a

3

-x）+f（x）=（-

2a

3

-x）³+a（-

2a

3

-x）²+b（-

2a

3

-x）+c+x³+ax²+bx+c=

4a3

27

-

2ab

3

+2c，
f（-

a

3

）=（-

a

3

）³+a（-

a

3

）²+b（-

a

3

）+c=

2a3

27

-

ab

3

+c，
∵f（-

2a

3

-x）+f（x）=2f（-

a

3

），
∴点P（-

a

3

，f（-

a

3

））为对称中心，故B正确．
C：若取a=-1，b=-1，c=0，则f（x）=x³-x²-x，
对于f（x）=x³-x²-x，∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈（-

1

3

，1）
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），减区间为：（-

1

3

，1），
故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（-∞，1）不是单调递减，故错；
D：若x₀是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x₀ ）=0，正确．
故选C．

点评：本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算．