Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=

1

2

（1-a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，并比较s_n与

1

2

的大小；
（Ⅱ）设函数f(x)=log

1

3

x，令b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1，代入题设，整理得

an

an-1

=

1

3

进而可知数列{a_n}为等比数列，公比是

1

3

，再根据S₁=a₁求得a₁，进而根据等比数列的通项公式求得a_n，把a_n代入S_n=

1

2

（1-a_n）中得

1

2

（1-（

1

3

）ⁿ），根据1-（

1

3

）ⁿ＜1，答案可得．
（2）把a_n代入b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），化简整理求得b_n，进而可得

1

bn

，最后用裂项法求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=

1

2

（1-a_n）-

1

2

（1-a_n-1）=-

1

2

a_n+

1

2

a_n-1，
2a_n=-a_n+a_n-1，．∴

an

an-1

=

1

3

，由S₁=a₁=

1

2

（1-a₁）得a₁=

1

3

∴数列{a_n}是首项a₁=

1

3

公比为

1

3

的等比数列
a_n=

1

3

×（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ．
由S_n=

1

2

（1-a_n）=

1

2

（1-（

1

3

）ⁿ）
∵1-（

1

3

）ⁿ＜1
∴

1

2

（1-（

1

3

）ⁿ）＜

1

2

∴s_n＜

1

2

（Ⅱ）f(x)=log

1

3

x，
∴b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=log

1

3

（a₁a2_…a_n）
=log

1

3

（

1

3

）^1+2+…n=

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

2n

n+1

．

点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了用裂项法对数列进行求和．