Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），(

2 3

3

， 

π

2

)，曲线C的参数方程

x=-1+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数且0＜θ＜π）．
（1）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（2）判断直线l与曲线C的交点个数．

Answer 1

分析：（1）把直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），(

2 3

3

， 

π

2

)，化为直角坐标，得M（2，0），N（0，

2 3

3

），由此能求出直线OP的平面直角坐标方程．
（2）圆C方程化为普通方程是（x+1）²+y²=4，（y＞0），圆心到直线OP的距离d=

1

2

＜2，直线与圆相交，由此能判断直线l与曲线C的交点个数．

解答：解：（1）∵直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），(

2 3

3

， 

π

2

)，
化为直角坐标为M（2，0），N（0，

2 3

3

），
∴MN中点的P坐标是(1， 

3

3

)，
∴直线OP的平面直角坐标方程是y=

3

3

x．…（5分）
（2）∵曲线C的参数方程

x=-1+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数且0＜θ＜π），
∴圆C方程化为普通方程是（x+1）²+y²=4，（y＞0），…（7分）
圆心到直线OP的距离d=

1

2

＜2，
所以直线与圆相交，…（8分）
因为但是圆C的图象只在x轴上方，直线经过第一和第三象限，
所以直线与圆交点只有在第一象限唯一一个．…（10分）

点评：本题考查直线的平面直角坐标方程的求法，考查直线与曲线的交点个数的判断，解题时要认真审题，注意极坐标方程和参数方程的概念及转化为普通方程的方法的合理运用．