题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论
的单调性;
(2)设,若关于
的不等式
在
上有解,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析: (1)对函数两次求导,判断出函数的单调性;(2)将函数g(x)的解析式代入关于x的不等式,化简并构造新函数,对新函数求导,讨论参数的范围判断出单调性求出最值,代入不等式即可.
试题解析:
(1)由题意知, ,
令,当
时,
恒成立,
∴当时,
;当
时,
,
∴函数在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)∵,∴
,
由题意知,存在,使得
成立.
即存在,使得
成立,
令,
∴.
①时,
,则
,∴函数
在
上单调递减,
∴成立,解得
,∴
;
②当时,令
,解得
;令
,解得
,
∴函数在
上单调递增,在
上单调递减,
又,∴
,解得
,∴
无解;
③当时,
,则
,∴函数
在
上单调递增,
∴,不符合题意,舍去;
综上所述, 的取值范围为
.
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