如图.在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD.现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F.为缓解交通压力.决定修建两条互相垂直的公路PE和PF.设∠EPA=α(0＜α＜$\frac{π}{2}$)．(1)为减少对周边区域的影响.试确定E.F的位置.使△PAE与△PFB的面积之和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$）．
（1）为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；
（2）为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．

分析（1）借助三角函数求出△PAE与△PFB的面积，利用基本不等式性质，求出E，F的位置；
（2）借助三角函数求出PE+PF，利用导数求出当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．

解答（1）在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，AP=8，则AE=8tanα．
所以S_△APE=$\frac{1}{2}$PA×AE=32tanα．…（2分）
同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，PB=1，则BF=$\frac{1}{tanα}$
所以S_△PBF=$\frac{1}{2}$PB×BF=$\frac{1}{2tanα}$．…（4分）
故△PAE与△PFB的面积之和为32tanα+$\frac{1}{2tanα}$ …（5分）
32tanα+$\frac{1}{2tanα}$≥2$\sqrt{32tanα•\frac{1}{2tanα}}$=8
当且仅当32tanα=$\frac{1}{2tanα}$，即tanα=$\frac{1}{8}$时取等号，
故当AE=1km，BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小．…（6分）
（2）在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，则PE=$\frac{8}{cosα}$
同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，则PF=$\frac{1}{sinα}$
令f（α）=PE+PF=$\frac{8}{cosα}$+$\frac{1}{sinα}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$…（8分）
则f′（α）=$\frac{8sinα}{co{s}^{2}α}-\frac{cosα}{si{n}^{2}α}$=$\frac{8si{n}^{3}α-co{s}^{3}α}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$（10分）
f′（α）=0得tanα=$\frac{1}{2}$
所以tanα=$\frac{1}{2}$，f（α）取得最小值，…（12分）
此时AE=AP•tanα=8×$\frac{1}{2}$=4，BF=$\frac{BP}{tanα}=2$
当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．…（14分）