题目内容
【题目】甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75.
（1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；
（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率.
【答案】（1）0.38；（2）0.6864.
【解析】
(1)分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件
，则为相互独立事件，E表示事件“恰有一人通过笔试”；E分解为3个互斥事件：
，这三个互斥事件内部也是相互独立事件，从而进行计算；(2)一名学生被该高校预录取指笔试和面试均合格，这两次考试过程相互独立，分别计算出三名学生各自被录取的概率，首先求出三人均未被录取的概率，然后由对立事件的概率性质即可得解.
（1）分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件，则为相互独立事件，E表示事件“恰有一人通过笔试”，则
即恰有一人通过笔试的概率是0.38.
（2）分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C，
则
.
事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，
则
表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，
，
于是
.
即经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率是0.6864.
【题目】某省数学学业水平考试成绩共分为
、
、
、
四个等级，在学业水平考试成绩分布后，从该省某地区考生中随机抽取
名考生，统计他们的数学成绩，部分数据如下：
等级 |
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|
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频数 |
|
| ||
频率 |
|
（1）补充完成上述表格的数据；
（2）现按上述四个等级，用分层抽样方法从这名考生中抽取
名.在这名考生中，从成绩为等和等的所有考生中随机抽取
名，求至少有
名成绩为等的概率.
【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 |
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频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 |
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频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【题目】在测试中,客观题难题的计算公式为
,其中
为第
题的难度，
为答对该题的人数，
为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错)：
学生 编号 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测答对人数 | |||||
实测难度 |
（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；
（3）定义统计量
，其中
为第题的实测难度，为第题的预估难度(
).规定：若
，则称该次测试的难度估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.
