Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）．
（1）若k=2，求以M（2，f（2））为切点的曲线的切线方程；
（2）若函数f（x）≤0恒成立，确定实数K的取值范围；
（3）证明：

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

(n-1)2

n+1

．

Answer 1

分析：（1）利用导数研究函数在x=2处的导数，得到切线的斜率，然后根据点斜式可得切线方程；
（2）利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范围；
（3）由（2）知ln（x-1）＜x-2，则

ln(x-1)

x

＜1-

2

x

，取x=3，4，5…n，n+1累加可得结论．

解答：解：（1）k=2，f（x）=ln（x-1）-2x+3
f′(x)=

1

x-1

-2，则f′（2）=-1
∴k=-1，切线方程为x+y-1=0；
（2）f′(x)=

1

x-1

-k=0得x=1+

1

k

当k≤0时，f′（x）＞0函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立，
当k＞0时，函数f（x）在(1，1+

1

k

)单调递增，在(1+

1

k

，+∞)单调递减，
当x=1+

1

k

时，f（x）取最大值，f(1+

1

k

)=ln

1

k

≤0∴k≥1
（3）由（2）知k=1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x-1）＜x-2
∴

ln(x-1)

x

＜1-

2

x

取x=3，4，5…n，n+1累加得

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜n-1-(

2

3

+

2

4

+

2

5

+…+

2

n+1

)＜n-1-

2(n-1)

n+1

=

(n-1)2

n+1

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于中档题．