Question

若函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值为7，则a=

2或

1

2

．

Answer 1

分析：由已知中函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值是7，我们利用换元法，及二次函数的性质，我们易构造关于a的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：令t=a^x，则t＞0，则y=a^2x+2a^x-1=t²+2t-1=（t+1）² -2 （t＞0）．
当0＜a＜1时，∵x∈[-1，1]，∴a≤t≤

1

a

，此时f（t）在[a，

1

a

]上单调递增，
则y_max=f（

1

a

）=

1

a2

+

2

a

-1=7，解得：

1

a

=2，或

1

a

=-4（舍）∴a=

1

2

．
当a＞1时，∵x∈[-1，1]，∴

1

a

≤t≤a，此时f（t）在[

1

a

，a]上单调递增，
则y_max=f（a）=a²+2a-1=7，解得：a=2，或a=-4（舍），∴a=2．
综上：a=

1

2

，或a=2，
故答案为

1

2

或 2．

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，指数函数的值域，二次函数的单调性，其中利用换元法将已知中的函数化为二次函数是解答本题的关键，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．