题目内容

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(I)定义坐标为整数的点为“整点”.在区域U内任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率;
(II)在区域U内任取3个点,记此3个点在区域V的个数为X,求X的概率分布列及其数学期望.
分析:(Ⅰ)根据题意,画出区域U与V,可得其中整点的个数,进而由古典概型公式,计算可得答案;
(Ⅱ)根据题意,易得区域U的面积为8,区域V的面积为4,进而可得在区域U内任取一点,该点在区域V内的概率,依题意可得X的取值为0,1,2,3;由n次独立重复试验中恰有k次发生的概率公式,可得X为0,1,2,3的概率,可得X的分布列,进而由期望公式,计算可得答案.
(Ⅱ)根据题意,易得区域U的面积为8,区域V的面积为4,进而可得在区域U内任取一点,该点在区域V内的概率,依题意可得X的取值为0,1,2,3;由n次独立重复试验中恰有k次发生的概率公式,可得X为0,1,2,3的概率,可得X的分布列,进而由期望公式,计算可得答案.
解答:
解:(Ⅰ)由题意,区域U内共有15个整点,区域V内共有9个整点,
设所取3个整点中恰有2个整点在区域V的概率为P(v),
则P(v)=
=
.
(Ⅱ)区域U的面积为8,区域V的面积为4,
∴在区域U内任取一点,该点在区域V内的概率为
=
.
则X的取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C30(
)0(
)3=
,
P(X=1)=C31(
)1(
)2=
,
P(X=0)=C32(
)2(
)1=
,
P(X=3)=C33(
)3(
)0=
,
∴X的分布列为
E(X)=0×
+1×
+2×
+3×
=

设所取3个整点中恰有2个整点在区域V的概率为P(v),
则P(v)=
| ||||
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216 |
455 |
(Ⅱ)区域U的面积为8,区域V的面积为4,
∴在区域U内任取一点,该点在区域V内的概率为
4 |
8 |
1 |
2 |
则X的取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C30(
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
8 |
P(X=1)=C31(
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
8 |
P(X=0)=C32(
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
8 |
P(X=3)=C33(
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
8 |
∴X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
P(X) |
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1 |
8 |
3 |
8 |
3 |
8 |
1 |
8 |
3 |
2 |
点评:本题考查排列组合的运用、离散型变量的期望与方差的计算,解题时注意(Ⅰ)涉及整点,是古典概型;(Ⅱ)利用面积,是几何概型.

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