题目内容

(2010•通州区一模)设不等式组
-2≤x≤2
0≤y≤2
确定的平面区域为U,
x-y+2≥0
x+y-2≤0
y≥0
确定的平面区域为V.
(I)定义坐标为整数的点为“整点”.在区域U内任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率;
(II)在区域U内任取3个点,记此3个点在区域V的个数为X,求X的概率分布列及其数学期望.
分析:(Ⅰ)根据题意,画出区域U与V,可得其中整点的个数,进而由古典概型公式,计算可得答案;
(Ⅱ)根据题意,易得区域U的面积为8,区域V的面积为4,进而可得在区域U内任取一点,该点在区域V内的概率,依题意可得X的取值为0,1,2,3;由n次独立重复试验中恰有k次发生的概率公式,可得X为0,1,2,3的概率,可得X的分布列,进而由期望公式,计算可得答案.
解答:解:(Ⅰ)由题意,区域U内共有15个整点,区域V内共有9个整点,
设所取3个整点中恰有2个整点在区域V的概率为P(v),
则P(v)=
C
2
9
C
1
6
C
3
15
=
216
455
.          
(Ⅱ)区域U的面积为8,区域V的面积为4,
∴在区域U内任取一点,该点在区域V内的概率为
4
8
=
1
2
.                         
则X的取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C30
1
2
0
1
2
3=
1
8

P(X=1)=C31
1
2
1
1
2
2=
3
8

P(X=0)=C32
1
2
2
1
2
1=
3
8

P(X=3)=C33
1
2
3
1
2
0=
1
8

∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P(X)
1
8
3
8
3
8
1
8
E(X)=0×
1
8
+1×
3
8
+2×
3
8
+3×
1
8
=
3
2
点评:本题考查排列组合的运用、离散型变量的期望与方差的计算,解题时注意(Ⅰ)涉及整点,是古典概型;(Ⅱ)利用面积,是几何概型.
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